Otro problema de matemáticas

Pensemos en un triángulo equilátero ABC. Consideremos N un punto del lado AC de tal forma que el segmento AC es igual a 7 veces el segmento AN. Sea M un punto del lado AB tal que MN sea paralela a BC y sea P un punto del lado BC tal que MP sea paralelo a AC.
¿Cuánto es área(MNP) / área de(ABC) ?

Un problema de matemáticas

Haciendo escombro de mis cosas encontré una hoja con problemas de matemáticas interesantes, iré poniendo algunos así como su solución. Dejo aquí el primero de ellos:

Se eligen cuatro dígitos del conjunto {1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Se forman con estos dígitos elegidos todos los posibles números de cuatro cifras distintas.
La suma de todos los números generados es 193314. Sin usar calculadora ni computadora, ¿cómo sabemos cuáles son los dígitos que se eligieron?

Pondré la respuesta en una próxima entrada.

Cubo soma

Pues me dí cuenta de que algunas personas han llegado a mi blog por medio de google, por el post que puse del cubo soma:

El día de hoy después de mucho tiempo, conseguí un cubo soma. El cubo soma es una especie de Tangram solo que en tres dimensiones. El cubo soma consiste de 7 diferentes piezas que al unirlas forman un cubo de 3×3×3. Además de formar el cubo se pueden formar muchas otras figuras, claro que hay distintos niveles de complejidad, por lo que unas resultan más difíciles que otras. Me la pasé con este cubo un par de horas y logré hace hacer 8 figuras (además del cubo); es un muy buen entretenimiento y ayuda al desarrollo de la inteligencia espacial. Must try.

Sin embargo, creo que la información que pongo es muy escasa, así que decidí ampliarla por si alguien lo necesita.

El cubo soma es un juego basado en un otro llamado tangram. El tangram es un antiguo juego chino que consiste en un cuadrado de madera o de papel que es dividido en siete piezas. Las piezas del tangram pueden organizarse de distintas maneras para formar diferentes figuras. Se pueden crear con estas siete piezas figuras producto de la imaginación de cada persona o se pueden tratar de imitar patrones de figuras existentes. El nivel de dificultad para la construcción de las figuras del tangram es variable y depende mucho de la capacidad de las personas de poder realizar rotaciones y reflexiones mentales sobre las piezas del juego, capacidad que es conocida como inteligencia espacial.
Esta es la forma como se divide un cuadrado para formar el juego del tangram:

Y aquí se muestran algunas de las posibles figuras que se pueden armar con estas piezas:

El cubo soma retoma la idea del tangram pero buscando un juego que no se limite a una figura plana sino que busca la posibilidad del juego análogo en tres dimensiones. El inventor del cubo soma es Piet Hein, escritor y científico danés conocido por la invensión de algunos entretenimientos matemáticos tales como los juegos de Hex y TacTix, entre otros.
La historia de la invensión de este juego aparece en un libro de Martin Gardner en el que menciona que Hein inventó el cubo durante una conferencia de física cuántica que ofrecía Werner Heisenberg . En esta conferencia Heisenberg hablaba acerca de un espacio dividido en cubos, idea de la cual Hein derivó la formulación del siguiente teorema:Todas las formas irregulares formadas por no más de cuatro cubos iguales, unidos por sus caras, forman un cubo más grande. Una forma irregular se refiere a aquellas figuras que presentan una concavidad, para imaginarlo más precisamente pensemos en aquellas figuras que vistas desde alguna perspectiva tienen la forma de una L.
En esta imágen se muestran las siete piezas del cubo soma:

La última pieza de la imagen muestra la forma irregular más simple que se puede obtener, además de ser la única forma irregular que se puede formar con tres cubos. Las seis figuras restantes son todas las posibles formas irregulares que se pueden generar con cuatro cubos y todas son distintas entre sí, aunque las dos primeras que vemos en la imagen son una reflexión.
Tenemos entonces 6 piezas formadas de 4 cubos (24 cubos) y una pieza de 3 cubos, en total 27 cubos, lo que nos abre la posibilidad a un cubo de 3×3x3. Según cuenta Gardner en su libro, este resultado del número de cubos lo obtuvo garabateando las piezas en papel durante la conferencia. Después de está conferencia mandó a engomar unos cubos formando las figuras requeridas y demostró su teorema de una manera muy simple: formando un cubo con estas piezas.
Este juego se comenzó a comercializar bajo el nombre de cubo soma, aquí una imágen del cubo armado:.

Una vez que tenemos el cubo en nuestras manos, el primer reto es desarmarlo y volver a armar este cubo, tarea que nos llevará algunos minutos, pues hay que comenzar a familiarizarse con las piezas, una vez hecho esto nos será relativamente más sencillo poder armar el cubo.
Al igual que con el Tangram existen ya varios patrones de figuras que podemos intentar armar. Aquí les pongo un liga hacia algunas de las formas conocidas que se pueden hacer con las piezas del soma:
http://web.inter.nl.net/users/C.Eggermont/Puzzels/Soma/overzicht.html
Ahora, podemos dejarnos llevar por nuestra imaginación e inventar nuevas figuras, al igual que se hace con el tangram. Debemos saber que existen figuras que son imposibles de armar utilizando las piezas del cubo soma, es decir, si hacemos un diseño en papel de una figura de 27 cubos, no necesariamente puede ser ensamblada utilizando las piezas del soma. Si algún día los retan a hacer una figura soma, deben pedir que se las muestren ya hecha y no solo dibujada en un papel, pues se podría tratar de una figura imposible y pasarían un mal rato.
El juego se puede conseguir en tiendas de juegos e incluso los he vistos en algunas ferias, incluso se puede construir en casa utilizando piezas de madera o pegando cubitos de plástico. Este cubo es un sano entretenimiento para todas las edades y al igual que el tangram ayuda a incrementar la inteligencia espacial, pues requiere de una manipulación tanto física como mental de objetos tridimensionales.
Es importante destacar que la inteligencia espacial es una medida independiente de medidas de inteligencia tales como el IQ, estas medidas no tienen ninguna relación con la habilidad para construir piezas del soma.
Es un juego que les hará pasar muchas horas de entretenimiento y algunas horas de frustración a los desesperados, deben probarlo.

. Cualquier duda, sugerencia o comentario son bien recibidos.